Calcul à une variable depuis les premiers principes
Dans les deux derniers cours, vous avez ajouté une liste de nombres et demandé où la somme partielle convergeait. Maintenant, nous faisons un grand pas : et si ce que nous sommes en train d'additionner sont des pièces infiniment nombreuses et infiniment minces? Ce seul mouvement — additionner de petites pièces, puis prendre une limite — est l'idée même de l'intégrale.
Voici le dessin. Vous voulez la surface sous une courbe, mais le haut est ondulé, donc il n'y a pas de hauteur unique à multiplier par la largeur. Alors vous trichez, avec soin : couvrez la région avec des rectangles verticaux minces, chacun si étroit que la courbe est presque plate dessus. Ajoutez leurs aires. Vous n'obtiendrez pas la réponse exacte — les sommets des rectangles dépassent ou tombent en dessous de la courbe — mais vous approcherez du résultat. Ensuite, faites les rectangles plus minces.
Pour trouver l'aire d'une région de forme étrange, imaginez la remplir avec de nombreuses bandes verticales fines, comme empiler une rangée de pièces côte à côte sous la courbe. Chaque bande est si étroite que son sommet est presque plat, vous pouvez donc la traiter comme un simple rectangle et additionner les aires. Plus vous coupez les bandes finement — plus vous rendez Δx petit — plus la pile remplit la région de manière ajustée, et l'aire que vous obtenez se rapproche de la réponse exacte.