Calcul à une variable depuis les premiers principes
La substitution (souvent appelée changement de variable u) est la technique d'intégration qui inverse la règle de la chaîne. Quand une intégrale contient une fonction et une copie de sa dérivée, on peut réduire la composition compliquée en une intégrale simple et propre en renommant l'intérieur.
La recette : repérez une fonction interne, appelez-la u = g(x), calculez du = g′(x) dx, et réécrivez entièrement l'intégrale en fonction de u. Si vous avez bien choisi u, le morceau g′(x) dx est déjà là pour devenir du, et l'intégrale devient triviale.
La substitution, c'est comme changer de l'argent dans une devise plus simple pour faire une addition, puis rechanger. L'intégrale est maladroite dans sa « devise » originale x, alors vous échangez contre une unité propre u, vous y faites l'arithmétique facile, et vous reconvertissez la réponse en x à la fin. Choisissez sagement le taux de change et la somme désordonnée se transforme en une somme que vous pouvez faire de tête.