Calcul multivarié depuis les premiers principes
Sur une droite, vous ne pouviez approcher un point que de deux côtés, à gauche et à droite. Dans le plan et au-delà, vous pouvez approcher un point depuis une infinité de directions, le long de n'importe quel chemin. Cette liberté supplémentaire rend les limites dans Rⁿ véritablement plus difficiles, et cette leçon est plus un avertissement qu'une recette.
Une fonction f a pour limite L en un point p seulement si elle tend vers la même valeur L quel que soit le chemin emprunté. Si deux chemins différents donnent deux réponses différentes, la limite n'existe tout simplement pas.
Vous acceptez de retrouver un ami à une fontaine au milieu d'une place. Vous pouvez y marcher depuis l'entrée nord, la ruelle est, ou n'importe quelle diagonale sinueuse à travers la place, mais vous devez atterrir à la même fontaine. Une limite dans Rⁿ exige exactement cela : la fonction doit se diriger vers une seule valeur, peu importe le chemin que vous empruntez. Si deux approches ne sont pas d'accord sur leur point d'arrivée, il n'y a pas de point de rencontre, et la limite n'existe pas.