Géométrie et algèbre des applications linéaires, vecteurs et matrices
La diagonalisation réécrit une matrice dans son propre système de coordonnées le plus naturel, celui construit à partir de ses vecteurs propres. Dans ce système la matrice est diagonale : elle ne fait que mettre à l'échelle chaque axe propre par sa valeur propre. Une transformation embrouillée devient simple.
Ici P a les vecteurs propres comme colonnes et D est diagonale avec les valeurs propres. Lisez le produit de droite à gauche comme une recette en trois étapes : P⁻¹ pivote dans les coordonnées propres, D met chaque axe à l'échelle, et P pivote en arrière. Une transformation désordonnée, exprimée comme un étirement pur entre deux changements de repère.
La diagonalisation rend les puissances matricielles presque gratuites. Parce que la paire du milieu P⁻¹P s'annule, Aᵏ = P Dᵏ P⁻¹, et élever une matrice diagonale à une puissance revient à élever chaque entrée diagonale à cette puissance. Pas de multiplication matricielle répétée nécessaire.