Les mathématiques de l'incertitude
Les données réelles sont rarement un seul nombre. C'est un vecteur. La gaussienne multivariée N(μ, Σ) étend la cloche à plusieurs dimensions. La moyenne devient un vecteur μ ∈ ℝⁿ (le centre du nuage) et la variance devient une matrice de covariance Σ (la forme et l'inclinaison du nuage).
L'exposant généralise le z-score : (x−μ)ᵀΣ⁻¹(x−μ) est la distance de Mahalanobis au carré, distance à la moyenne mesurée en unités du propre étalement des données. Les points d'égale densité forment des ellipses (ellipsoïdes en dimension supérieure) ; la matrice de covariance fixe leur taille, étirement, et inclinaison.
La diagonale de Σ contient les variances par coordonnée ; les hors-diagonales contiennent les covariances, vous disant si les coordonnées montent ensemble. Une Σ diagonale donne des ellipses alignées sur les axes (coordonnées indépendantes) ; les termes hors-diagonale les inclinent. Σ doit être semi-définie positive, puisqu'il n'existe pas de variance négative dans aucune direction.