סכומים חלקיים

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי חד־משתני מיסודות ראשונים

קח סדרה והתחל לחבר את האיברים תוך כדי התקדמות. אחרי איבר אחד יש בידך a₁. אחרי שניים, a₁ + a₂. אחרי שלושה, a₁ + a₂ + a₃. כל אחד מהסכומים המצטברים האלה נקרא סכום חלקי, ומסומן Sₙ — סכום n האיברים הראשונים.

הסכומים החלקיים עצמם יוצרים סדרה חדשה (S₁, S₂, S₃, …), ואפשר לשאול בדיוק את אותה שאלה כמו בשיעור הקודם: האם הסכום המצטבר מתיישב על גבול? אם כן, קוראים לגבול הזה סכום הטור.

תארו לעצמכם צנצנת טיפים שאתם ממשיכים למלא: כל סכום מצטבר הוא סכום חלקי, הכסף בצנצנת לאחר התרומה האחרונה. אם כל תרומה היא חצי מהגודל של הקודמת — כמו הוספת 1/2 + 1/4 + 1/8 + … של דולר — הצנצנת מתמלאת במהירות בהתחלה, ואז בקושי עולה, נצמדת לתקרה. התקרה הזו שהיא אף פעם לא ממש עוברת היא סכום הטור, כאן בדיוק 1 דולר.