חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי חד־משתני מיסודות ראשונים
בשני השיעורים האחרונים חיברת רשימה של מספרים ושאלת לאן הסכום המצטבר חותר. עכשיו נעשה קפיצה נועזת אחת: מה אם הדברים שאנחנו מחברים הם אינסוף חתיכות דקות עד אינסוף? המהלך הזה — חבר חתיכות זעירות, ואז קח גבול — הוא כל הרעיון של האינטגרל.
הנה התמונה. אנחנו רוצים את השטח מתחת לעקומה, אבל החלק העליון גלי, אז אין גובה יחיד שאפשר לכפול ברוחב. לכן מרמים — בזהירות: מכסים את האזור במלבנים אנכיים דקיקים, כל אחד כה צר שהעקומה כמעט שטוחה לרוחבו. מחברים את שטחיהם. לא מקבלים את התשובה המדויקת — ראשי המלבנים בולטים מעל העקומה או נופלים מתחתיה — אבל מתקרבים. ואז מדקיקים עוד יותר את המלבנים.
כדי למצוא את השטח של אזור בעל צורה מוזרה, תארו לעצמכם שאתם ממלאים אותו בהרבה רצועות אנכיות דקות, כמו ערימת שורה של מטבעות זה לצד זה מתחת לעקומה. כל רצועה כל כך צרה שהחלק העליון שלה כמעט שטוח, ולכן אפשר להתייחס אליה כאל מלבן פשוט ולחבר את השטחים. ככל שתחתכו את הרצועות דק יותר — ככל שתקטינו את Δx — כך הערימה תמלא את האזור בצורה הדוקה יותר, והשטח שתקבלו יתקרב לתשובה המדויקת.