חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי חד־משתני מיסודות ראשונים
האינטגרל עונה על השאלה המשלימה לזו של הנגזרת: לא "באיזו מהירות זה משתנה?" אלא "כמה הצטבר?" מבחינה גאומטרית, האינטגרל המסוים הוא השטח הכלוא בין העקומה לבין ציר ה־x.
תארו לעצמכם שאתם מעתיקים קווי מתאר של בריכה על נייר משבצות ורוצים לחשב את השטח שלה. אתם לא יכולים להכפיל רוחב אחד בגובה אחד, כי החוף מתעקל. אז אתם סופרים את הריבועים הקטנים שנופלים מתחת לקו המתאר: ככל שיש יותר ריבועים, והרשת עדינה יותר, כך הספירה שלכם מתקרבת יותר ויותר לשטח האמיתי. סכום רימן הוא בדיוק הספירה הזו, והאינטגרל הוא המספר שהוא מתייצב עליו כשהריבועים מתכווצים לאפס.
במלבן השטח הוא פשוט רוחב × גובה. אבל לעקומה יש שפה עליונה מתנודדת, ואין גובה יחיד שאפשר לכפול בו. הרעיון של ברנהרד רימן: לחתוך את האזור למלבנים אנכיים דקים, כל אחד מהם נמוך דיו כך שהעקומה כמעט שטוחה לאורכו, לסכום את שטחיהם, ואז לעבור לפרוסות דקות יותר ויותר.