המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי — חדו״ג I

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי חד־משתני מיסודות ראשונים

זהו המשפט שקושר את כל הקורס יחד. נגזרות ואינטגרלים, שיפועים ושטחים, נראים כשני עולמות נפרדים. המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי (FTC) מראה שהם הופכיים זה לזה במדויק. גזירה מבטלת אינטגרציה, ולהפך.

נגדיר פונקציית שטח A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, השטח המצטבר מתחת ל־f מנקודת התחלה קבועה ועד x. חלק 1 אומר: הקצב שבו שטח זה גדל הוא בדיוק גובה העקומה בקצה הימני:

באופן אינטואיטיבי: כשדוחפים את הקצה הימני במעט, פרוסת השטח החדשה שמתווספת היא (גובה)×(רוחב זעיר) = f(x)·dx. ולכן השטח מצטבר בקצב f(x). האיור מראה את השטח מתמלא ואת קצב הגדילה שלו עוקב אחר גובה העקומה.

איפה זה ב־MLה־FTC הוא הסיבה שאפשר לנוע בחופשיות בין צפיפויות לבין הסתברויות מצטברות. פונקציית צפיפות ההסתברות (PDF) היא הנגזרת של פונקציית ההתפלגות המצטברת (CDF), וה־CDF הוא האינטגרל של ה־PDF: זה חלק 1 וחלק 2 בפעולה. חישוב P(a ≤ X ≤ b) = CDF(b) − CDF(a) הוא ממש FTC חלק 2. בכל פעם שמודל ממיר צפיפות להסתברות, הוא משתמש במשפט הזה.