सांतत्य

प्रथम सिद्धांतों से एक-चर कलन

अनौपचारिक रूप से, एक फलन संतत है यदि आप इसे बिना कलम उठाए खींच सकें: कोई छेद नहीं, कोई उछाल नहीं, कोई अचानक विस्फोट नहीं। सटीक संस्करण इसे उस सीमा से पिन करता है जो आपने अभी सीखी: हर बिंदु पर, जहाँ फलन जा रहा है वह वहाँ मेल खाना चाहिए जहाँ यह वास्तव में है।

तीन चीज़ें सब मेल खानी चाहिए: f(a) मौजूद है, सीमा मौजूद है, और वे बराबर हैं। यदि तीन में से कोई भी विफल हो, तो आपके पास एक असांतत्य है, और ठीक तीन प्रकार हैं।

एक प्रतिस्थाप्य असांतत्य एक एकल गायब बिंदु है, एक छेद, जहाँ सीमा मौजूद है लेकिन फलन ने उस मान को छोड़ दिया ((x²−4)/(x−2) छेद की तरह)। एक उछाल तब है जब बायीं और दायीं सीमाएँ असहमत हों, तो आलेख एक स्तर से दूसरे पर कूदता है। एक अनंत असांतत्य एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्श है, जहाँ फलन ±∞ तक चला जाता है (0 पर 1/x की तरह)।