आंशिक योग

प्रथम सिद्धांतों से एक-चर कलन

एक अनुक्रम लें और पदों को चलते हुए जोड़ते जाएँ। एक पद के बाद a₁ है। दो के बाद, a₁ + a₂। तीन के बाद, a₁ + a₂ + a₃। इन चलते कुलों में से प्रत्येक को आंशिक योग कहते हैं, Sₙ लिखा जाता है — पहले n पदों का योग।

आंशिक योग स्वयं एक नया अनुक्रम बनाते हैं (S₁, S₂, S₃, …), और हम पिछले पाठ की तरह वही सवाल पूछ सकते हैं: क्या यह चलता कुल एक सीमा पर बैठता है? यदि हाँ, तो उस सीमा को श्रेणी का योग कहते हैं।

एक टिप जार की कल्पना करें जिसे आप भरते रहते हैं: प्रत्येक चालू कुल एक आंशिक योग है, नवीनतम योगदान के बाद जार में पैसा। यदि प्रत्येक योगदान पहले वाले के आकार का आधा है — जैसे डॉलर का 1/2 + 1/4 + 1/8 + … जोड़ना — तो जार पहले जल्दी भरता है, फिर मुश्किल से ऊपर उठता है, एक छत को छूता है। वह छत जिसे यह कभी पार नहीं करता है, श्रृंखला का योग है, यहाँ बिल्कुल 1 डॉलर।