प्रथम सिद्धांतों से एक-चर कलन
पिछले दो पाठों में आपने संख्याओं की एक सूची जोड़ी और पूछा कि चलता कुल कहाँ जा रहा है। अब हम एक बड़ी छलांग: क्या हो जब हम जोड़ रहे हैं अनंत रूप से पतले टुकड़े? वह एक कदम — छोटे टुकड़े जोड़ें, फिर सीमा लें — समाकलन की पूरी धारणा है।
चित्र यह है। आप एक वक्र के नीचे का क्षेत्रफल चाहते हैं, लेकिन ऊपर लहरदार है, तो चौड़ाई से गुणा करने के लिए कोई एक ऊँचाई नहीं। तो आप सावधानी से धोखा देते हैं: क्षेत्र को पतले ऊर्ध्वाधर आयतों से ढकें, हर एक इतना पतला कि वक्र उस पर लगभग समतल हो। उनके क्षेत्रफल जोड़ें। आपको सटीक उत्तर नहीं मिलेगा — आयतों के ऊपर वक्र से बाहर या नीचे उभरते हैं — लेकिन करीब आएँगे। फिर आयत पतले करें।
एक विषम आकार वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, वक्र के नीचे सिक्कों की एक पंक्ति को अगल-बगल रखने की तरह, इसे कई पतली ऊर्ध्वाधर पट्टियों से भरने की कल्पना करें। प्रत्येक पट्टी इतनी संकीर्ण है कि इसका शीर्ष लगभग सपाट है, इसलिए आप इसे एक साधारण आयत मान सकते हैं और क्षेत्रफलों को जोड़ सकते हैं। आप पट्टियों को जितना पतला काटते हैं — आप Δx को जितना छोटा बनाते हैं — स्टैक क्षेत्र को उतना ही अच्छी तरह से भरता है, और आपको जो क्षेत्रफल मिलता है वह सटीक उत्तर के करीब पहुँचता है।