क्रांतिक बिंदु

प्रथम सिद्धांतों से एक-चर कलन

किसी फलन के शिखर और घाटियाँ (इसके उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ) खोजने के लिए आप समतल जगहें ढूँढते हैं। पहाड़ी के शीर्ष या घाटी के तल पर, स्पर्श रेखा क्षैतिज, तो ढाल शून्य। वे क्रांतिक बिंदु हैं।

f′(x) = 0 सेट करके हल करने पर उम्मीदवार स्थान मिलते हैं। यह एक चिकने शिखर या घाटी के लिए आवश्यक शर्त है, लेकिन पूरी तरह पर्याप्त नहीं, क्योंकि एक समतल जगह एक क्षणिक ठहराव (एक काठी-जैसा नति परिवर्तन) भी हो सकती। आप एक जाँच से पुष्टि करते हैं।

लुढ़कती पहाड़ियों के पार एक पदयात्रा की कल्पना करें। जैसे ही आप एक पहाड़ी की ओर चढ़ते हैं, जमीन आपके जूतों के नीचे झुक जाती है; जैसे ही आप एक घाटी में नीचे जाते हैं, यह दूसरी तरफ झुक जाती है। ठीक पहाड़ी की चोटी पर, या घाटी के सबसे निचले बिंदु पर, जमीन क्षण भर के लिए सपाट होती है, ढलान शून्य होता है। वे सपाट स्थान बिल्कुल वही महत्वपूर्ण बिंदु हैं जिनकी आप तलाश करते हैं।