प्रथम सिद्धांतों से एक-चर कलन
समाकलन अवकलज का साथी सवाल जवाब देता: "यह कितनी तेज़ी से बदल रहा?" नहीं, बल्कि "कितना संचित हुआ?" ज्यामितीय रूप से, निश्चित समाकलन एक वक्र और x-अक्ष के बीच फँसा क्षेत्रफल है।
ग्राफ पेपर पर एक तालाब की रूपरेखा को ट्रेस करने और उसका क्षेत्रफल चाहने की कल्पना करें। आप एक चौड़ाई को एक ऊंचाई से गुणा नहीं कर सकते, क्योंकि किनारा मुड़ता है। इसलिए आप उन छोटे वर्गों की गिनती करते हैं जो रूपरेखा के अंतर्गत आते हैं: अधिक वर्ग, महीन ग्रिड, आपकी गिनती वास्तविक क्षेत्रफल के करीब पहुँचती है। रीमैन योग बिल्कुल वही गिनती है, और इंटीग्रल वह संख्या है जो वर्गों के सिकुड़ कर शून्य होने पर सेट होती है।
एक आयत के लिए, क्षेत्रफल बस चौड़ाई × ऊँचाई। लेकिन एक वक्र का ऊपर लहरदार — गुणा करने के लिए कोई एक ऊँचाई नहीं। बर्नहार्ड रीमान का विचार: क्षेत्र को पतले ऊर्ध्वाधर आयतों में काटें, हर एक इतना छोटा कि वक्र उस पर लगभग समतल, उनके क्षेत्रफल जोड़ें, फिर पतले और पतले टुकड़े लागू करें।