कैलकुलस का मौलिक प्रमेय

प्रथम सिद्धांतों से एक-चर कलन

यह वह प्रमेय है जो पूरे कोर्स को एक साथ जोड़ता। अवकलज और समाकलन, ढाल और क्षेत्रफल, दो अलग दुनिया जैसे लगते। कैलकुलस का मौलिक प्रमेय (FTC) दिखाता कि वे एक-दूसरे के ठीक प्रतिलोम हैं। अवकलन समाकलन को उलटता, और इसके विपरीत।

एक क्षेत्रफल फलन परिभाषित करें A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, f के नीचे एक निश्चित आरंभ से x तक चलता क्षेत्रफल। भाग 1 कहता: वह दर जिस पर वह क्षेत्रफल बढ़ता ठीक दाएँ किनारे पर वक्र की ऊँचाई:

सहज रूप से: जब आप दाएँ किनारे को थोड़ा धकेलते, नया क्षेत्रफल टुकड़ा (ऊँचाई)×(थोड़ी चौड़ाई) = f(x)·dx। तो क्षेत्रफल दर f(x) से संचित। आकृति क्षेत्रफल भरता और इसकी वृद्धि दर वक्र की ऊँचाई ट्रैक करती दिखाती।