चरघातांकी और लघुगणक

प्रथम सिद्धांतों से एक-चर कलन

मशीन लर्निंग में दो फलन पूरा शो चलाते हैं: चरघातांकी eˣ और इसका प्रतिलोम, प्राकृतिक लघुगणक ln(x)। ये प्रायिकताओं, हानि फलनों, वृद्धि और क्षय में उभरते हैं। अभी इनके साथ सहज होना बाद में हर जगह लाभदायक होगा।

eˣ की परिभाषित विशेषता यह है कि इसकी वृद्धि दर इसके वर्तमान मान के बराबर है — जितना बड़ा, उतनी तेज़ चढ़ता है। यही "चरघातांकी वृद्धि" का असली मतलब है: सिर्फ "तेज़" नहीं, बल्कि स्वयं के अनुपात में बढ़ना। विशेष संख्या e ≈ 2.718 वह आधार है जिसके लिए यह ठीक सच है।

लघुगणक ln(x) बस eˣ को उलट देता है: यह जवाब देता है "e किस घात पर मुझे x देता है?" तो ln(eˣ) = x और e^{ln x} = x। चूँकि वे प्रतिलोम हैं, उनके आलेख y = x रेखा के पार दर्पण प्रतिबिंब हैं — आकृति में बिंदु खींचें और इसके प्रतिबिंब को दूसरा वक्र खींचते देखें।