गाऊसीय उन्मूलन — रैखिक बीजगणित

रैखिक मानचित्र, सदिशों और आव्यूहों की ज्यामिति और बीजगणित

गाऊसीय उन्मूलन हाथ से या मशीन से Ax = b हल करने का व्यवस्थित एल्गोरिदम है। विचार: सरल पंक्ति संक्रियाओं से सिस्टम को एक सीढ़ी (echelon) रूप में तराशें, फिर पीछे की ओर काम करते हुए उत्तर पढ़ें।

तीन पंक्ति संक्रियाएँ अनुमत हैं, और कोई भी हल समुच्चय नहीं बदलती: दो पंक्तियाँ अदला-बदली, एक पंक्ति को गैर-शून्य संख्या से गुणा, या एक पंक्ति का गुणज दूसरी में जोड़ें। आप इन्हें प्रविष्टियों को शून्य तक गिराने के लिए चलाते हैं, एक-एक स्तंभ।

प्रत्येक पंक्ति में पहली गैर-शून्य प्रविष्टि एक पिवट है। ऊपर से नीचे काम करें, प्रत्येक पिवट से उसके नीचे सब कुछ साफ़ करें, जब तक आव्यूह ऊपरी-त्रिकोणीय न हो। फिर पश्च-प्रतिस्थापन: अंतिम पंक्ति एक चर सीधे देती है; इसे ऊपर वाली पंक्ति में भरें और ऊपर चढ़ें।

ML में इसका स्थानगाऊसीय उन्मूलन LU अपघटन का गणनात्मक पूर्वज है, वह रूटीन जो आपकी रैखिक-बीजगणित लाइब्रेरी वास्तव में सिस्टम हल और आव्यूह प्रतिलोम के लिए बुलाती है। आप शायद ही इसे ML में हाथ से चलाते हैं, लेकिन यह संवृत-रूप रिग्रेशन, सहप्रसरण गणना, और किसी बड़े एल्गोरिदम के अंदर "इस रैखिक सिस्टम को हल करो" कदम के पीछे के सॉल्वर के आधार पर है।