रैखिक मानचित्र, सदिशों और आव्यूहों की ज्यामिति और बीजगणित
तीन राशियाँ बताती हैं कि एक आव्यूह वास्तव में क्या करता है। स्तंभ समष्टि वह सब कुछ है जो Ax पहुँच सकता है: स्तंभों का विस्तार, आव्यूह का "आउटपुट क्षेत्र।" रैंक उस स्तंभ समष्टि का विमा है, स्वतंत्र दिशाओं की संख्या जो A बनाता है। और शून्य समष्टि वह सब कुछ है जो A शून्य तक कुचलता है, सभी x जिनके लिए Ax = 0।
लैंडमार्क का उपयोग करके दिशा-निर्देश देने की कल्पना करें। यदि आप कहते हैं "टॉवर की ओर जाओ" और "ठीक उसके बगल में टॉवर के जुड़वां की ओर जाओ," तो आपने वास्तव में केवल एक वास्तविक दिशा दी है — दूसरा कुछ नया नहीं जोड़ता है। रैंक यह गिनाता है कि मैट्रिक्स की कितनी दिशाएं इस तरह वास्तव में स्वतंत्र हैं; कोई भी दिशा जो बिल्कुल भी गति न होने में सिमट जाती है वह नल स्पेस से संबंधित है।
विमाएँ एक साफ़ संतुलन मानते हैं, रैंक–शून्यता प्रमेय: इनपुट विमाएँ बाँटे जाते हैं बचने वाली दिशाओं (रैंक) और कुचली जाने वाली दिशाओं (शून्यता) में।