आव्यूह प्रतिलोम — रैखिक बीजगणित

रैखिक मानचित्र, सदिशों और आव्यूहों की ज्यामिति और बीजगणित

प्रतिलोम A⁻¹ वह रूपांतरण है जो A को पूर्ववत करता है। A फिर A⁻¹ लागू करें और हर सदिश घर लौटता है: A⁻¹A = AA⁻¹ = I। यदि A 30° घुमाता है, इसका प्रतिलोम 30° वापस घुमाता है; यदि A लंबाइयाँ दोगुनी करता है, इसका प्रतिलोम आधी करता है।

हर आव्यूह पूर्ववत नहीं हो सकता। एक प्रतिलोम तभी विद्यमान है जब A पूर्ण रैंक हो, तुल्य रूप से जब इसका सारणिक गैर-शून्य हो। कारण ज्यामितीय है: यदि A समष्टि को सपाट करता है (एक दिशा को शून्य पर ध्वस्त, जैसे निम्न-रैंक आव्यूह करता), जानकारी नष्ट होती और इसे पुनर्निर्माण का कोई तरीका नहीं। ऐसा आव्यूह विषम है।

एक 2×2 आव्यूह के लिए एक याद रखने योग्य संवृत रूप है। विकर्ण अदला-बदली, विकर्णेतर को ऋणात्मक करें, सारणिक से भाग करें:

ML में इसका स्थानप्रतिलोम संकल्पनात्मक रूप से केंद्रीय लेकिन व्यावहारिक रूप से बचा जाता है। रिग्रेशन के सामान्य समीकरण β = (XᵀX)⁻¹Xᵀy लिखे जाते हैं, फिर भी वास्तविक सॉल्वर कभी वह प्रतिलोम नहीं बनाते; वे सिस्टम सीधे हल करते हैं क्योंकि प्रतिलोम करना महंगा और संख्यात्मक रूप से नाज़ुक है। यह जानना कब एक आव्यूह प्रतिलोम्य (पूर्ण रैंक) है बताता कि आपकी समस्या सु-प्रस्तुत या अवनत है।