द्विघाती रूप — रैखिक बीजगणित

रैखिक मानचित्र, सदिशों और आव्यूहों की ज्यामिति और बीजगणित

एक द्विघाती रूप xᵀAx एक सदिश लेता और एक संख्या देता जो x में द्विघाती बदलती, ax² का आव्यूह संस्करण। जैसे x सभी दिशाओं पर घूमता, यह संख्या एक पृष्ठ ट्रेस करती, और आव्यूह A (सममित लिया) उस पृष्ठ का आकार तय करता।

इसके आइगेन मान आइगेन-अक्षों के अनुदिश वक्रताएँ, और उनके चिह्न पृष्ठ को पूर्ण वर्गीकृत। सभी धनात्मक: एक कटोरा ऊपर खुलता (धनात्मक निश्चित) एक साफ न्यूनतम के साथ। सभी ऋणात्मक: एक गुंबद (ऋणात्मक निश्चित) एक अधिकतम के साथ। मिश्रित चिह्न: एक काठी (अनिश्चित), कुछ दिशाओं में ऊपर, दूसरों में नीचे।

आकृति में आइगेन मान चिह्न टॉगल करें और देखें पृष्ठ कटोरा, गुंबद, और काठी के बीच रूप बदलता।

ML में इसका स्थानद्विघाती रूप δᵀHδ एक हानि के टेलर विस्तार में द्वितीय-कोटि पद; यह ही स्थानीय वक्रता। एक धनात्मक-निश्चित हेसियन का मतलब स्थानीय न्यूनतम (कटोरा); अनिश्चित का मतलब काठी, जिससे उच्च-विमीय हानि पृष्ठ भरे। यह वक्रता विश्लेषण द्वितीय-कोटि अनुकूलक (न्यूटन विधि) चलाता और समझाता कि प्रशिक्षण काठियों से बचता न्यूनतम पर नहीं अटकता।