अनिश्चितता का गणित
अब तक हर यादृच्छिक चर अकेला। लेकिन रोचक प्रश्न संबंधों के बारे: ऊँचाई और वजन, एक छवि और उसका लेबल। एक संयुक्त वितरण p(x, y) हर जोड़े की प्रायिकता एक साथ। यह दो (या अधिक) चर साथ कैसे व्यवहार करते का पूर्ण विवरण।
असतत चरों के लिए, एक ग्रिड कल्पना: पंक्तियाँ X के मान, स्तंभ Y के मान, और हर कोशिका उस संयोजन की प्रायिकता। सभी कोशिकाएँ अ-ऋणात्मक और 1 तक जोड़ते, अभिगृहीत फिर, अब दो विमाओं में। सतत चरों के लिए एक घनत्व f(x, y) और प्रायिकताएँ एक 2-D पृष्ठ के नीचे आयतन।
ऊंचाई और वजन के आधार पर एक साथ क्रमबद्ध लोगों की दो-तरफ़ा तालिका की कल्पना करें: एक कक्ष में छोटे-और-हल्के, दूसरे में लंबे-और-भारी, और हर कक्ष में एक नंबर जो यह बताता है कि यह जोड़ी कितनी आम है। जोड़ों का वह पूरा ग्रिड संयुक्त वितरण (joint distribution) p(x, y) है — यह ऊंचाई और वजन का एक साथ वर्णन करता है, एक-एक करके नहीं। हर कक्ष को भरें, उन्हें गैर-नकारात्मक बनाएं और 1 में जोड़ें, और आपने इस बात की पूरी तस्वीर कैद कर ली है कि दो लक्षण एक साथ कैसे यात्रा करते हैं।