Kalkulus satu variabel dari prinsip pertama
Integral menjawab pertanyaan pendamping turunan: bukan "seberapa cepat ini berubah?" tetapi "berapa banyak yang telah terakumulasi?" Secara geometri, integral tentu adalah luas yang terperangkap antara kurva dan sumbu-x.
Bayangkan menjiplak garis luar sebuah kolam ke atas kertas grafik dan ingin mengetahui luasnya. Anda tidak bisa mengalikan satu lebar dengan satu tinggi, karena pantainya melengkung. Jadi Anda menghitung kotak-kotak kecil yang jatuh di bawah garis luar tersebut: semakin banyak kotak, semakin halus grid-nya, semakin dekat hitungan Anda menuju ke luas sebenarnya. Penjumlahan Riemann adalah tepat hitungan tersebut, dan integral adalah angka yang ditetapkannya ketika kotak-kotak tersebut menyusut menjadi tidak ada.
Untuk persegi panjang, luas hanyalah lebar × tinggi. Tetapi kurva memiliki bagian atas yang bergelombang — tidak ada satu tinggi tunggal yang bisa dikalikan. Ide Bernhard Riemann: iris daerah itu menjadi persegi panjang vertikal tipis, masing-masing cukup pendek sehingga kurva hampir datar di atasnya, jumlahkan luasnya, lalu gunakan irisan yang semakin tipis.