Kalkulus satu variabel dari prinsip pertama
Dalam dua pelajaran terakhir kamu menjumlahkan sebuah daftar angka dan bertanya ke mana total berjalan itu menuju. Sekarang kita membuat satu lompatan besar: bagaimana jika hal-hal yang kita jumlahkan jumlahnya tak hingga banyak, dan tiap bagiannya sangat tipis? Satu gerakan itu — jumlahkan bagian-bagian kecil, lalu ambil limit — adalah seluruh ide dari integral.
Gambarnya seperti ini. Kamu ingin luas di bawah sebuah kurva, tetapi bagian atasnya bergelombang, jadi tidak ada satu tinggi tunggal yang bisa dikalikan dengan lebar. Maka kamu melakukan trik dengan hati-hati: tutupi daerah itu dengan persegi panjang vertikal yang tipis, masing-masing begitu sempit sehingga kurva hampir datar di atasnya. Jumlahkan luasnya. Kamu tidak akan mendapat jawaban persis — puncak persegi panjang bisa menonjol di atas atau jatuh di bawah kurva — tetapi kamu akan mendapat perkiraan yang dekat. Lalu buat persegi panjangnya lebih tipis.
Untuk menemukan luas suatu area yang bentuknya aneh, bayangkan mengisinya dengan banyak potongan vertikal tipis, seperti menumpuk deretan koin berdampingan di bawah kurva. Setiap potongan sangat sempit sehingga bagian atasnya hampir datar, jadi Anda dapat memperlakukannya sebagai persegi panjang sederhana dan menjumlahkan luasnya. Semakin tipis Anda mengiris potongan — semakin kecil Anda membuat Δx — semakin pas tumpukan tersebut mengisi area, dan luas yang Anda dapatkan semakin mendekati jawaban pastinya.