Kalkulus multivariabel dari prinsip pertama
Buat Jacobian persegi (n masukan, n keluaran) dan determinannya mengambil pekerjaan geometris konkret. Dari Aljabar Linear, determinan matriks adalah faktor penskalaan volume. Determinan Jacobian memberi tahu Anda berapa banyak pemetaan meregangkan atau mengerutkan sepetak kecil ruang saat melewatinya.
Jika |det J| > 1, kotak kecil ruang masukan keluar lebih besar, jadi pemetaan memuai. Jika |det J| , keluar lebih kecil, jadi pemetaan mengerut. Jika det J = 0, kotak tertekan datar: pemetaan meruntuhkan dimensi dan tidak dapat dibalik secara lokal.
Gambarkan persegi mungil pada selembar karet melar, lalu tarik lembaran itu untuk mengubah bentuk grid. Determinan Jacobian adalah angka tunggal yang memberi tahu Anda seberapa besar luas persegi kecil itu tumbuh atau menyusut dalam regangan. Tarik karet di kedua arah dan perseginya menggelembung; hancurkan pada lipatan tunggal dan luasnya turun menjadi nol.