Kalkulus multivariabel dari prinsip pertama
Gradien mengemas semua turunan pertama. Hessian mengemas semua turunan kedua dari fungsi skalar f: Rⁿ → R ke matriks. Di mana gradien memberi kemiringan, Hessian memberi kelengkungan: bagaimana kemiringan itu sendiri berubah saat Anda bergerak.
Menurut teorema Clairaut (Pelajaran 6), Hᵢⱼ = Hⱼᵢ, jadi Hessian selalu simetris untuk fungsi halus yang kita pedulikan. Itu hadiah: matriks simetris memiliki eigenvalue real dan eigenvector ortogonal, dan eigenvalue itu persis kelengkungan sepanjang arah utama.
Jika gradien adalah spidometer suatu permukaan, Hessian adalah dasbor kelengkungannya: ini melaporkan bagaimana kemiringan itu sendiri menekuk di setiap arah secara bersamaan. Permukaan yang melengkung ke atas di sekeliling Anda terbaca seperti dasar lembah; melengkung ke bawah di sekelilingnya terbaca seperti puncak kubah; naik di satu sisi dan turun di sisi lain adalah pelana. Hessian mengemas semua itu ke dalam satu grid simetris dari turunan kedua.