Kalkulus multivariabel dari prinsip pertama
Pelajaran terakhir ini mengikat dua bagian kursus bersama. Saat Anda mengganti variabel dalam integral dengan substitusi x = g(u), Anda harus memperhitungkan bagaimana substitusi meregangkan ruang. Faktor peregangan itu adalah determinan Jacobian dari Modul 3, jadi rumus akhir adalah tempat turunan dan integral kursus akhirnya bertemu.
Ini adalah generalisasi multivariabel dari substitusi-u Kursus-I. Di sana, faktornya |dx/du|, 'Jacobian' 1×1. Di sini |det J_g|, faktor penskalaan volume: saat pemetaan g memampatkan atau memuai kotak kecil ruang-u menjadi ruang-x, determinan menskala ulang integral agar total tetap benar.
Mencoba mengintegralkan atas wilayah bundar dengan ubin kotak x-y ibarat mengaspal bundaran melingkar dengan batu bata persegi panjang: ujung-ujungnya tidak pernah pas dengan bersih. Beralih ke koordinat melingkar (kutub) yang melilit bagian tengah dan bentuknya masuk ke tempatnya secara alami. Harga untuk beralih adalah faktor regangan, yang mengubah elemen luas menjadi r dr dθ karena cincin yang lebih jauh dari bagian tengah menutupi lebih banyak ruang.