Calcolo a una variabile dai primi principi
Quando due funzioni sono moltiplicate insieme, non puoi semplicemente moltiplicare le loro derivate. È una scorciatoia tentatrice, e sbagliata. La regola corretta tiene conto del fatto che entrambi i fattori cambiano contemporaneamente.
Immagina un rettangolo la cui larghezza è f e la cui altezza è g; la sua area è f·g. Se entrambi i lati crescono un poco, l'area aumenta su due fronti: una striscia dovuta alla maggiore larghezza, più una striscia dovuta alla maggiore altezza. Ecco perché il risultato ha due termini, non uno.
Immagina un giardino rettangolare la cui larghezza e altezza vengono entrambe estese contemporaneamente. La nuova area non è solo una singola striscia, si ottiene una striscia lungo la larghezza più lunga e una striscia lungo l'altezza maggiore. Ecco perché la regola del prodotto ha due termini: quando due quantità variabili si moltiplicano, la crescita di ciascuna di esse contribuisce con la propria porzione al totale.