Calcolo a una variabile dai primi principi
A volte y non ti viene fornita in una forma ordinata y = f(x). È invece intrecciata in un'equazione, come nel cerchio x² + y² = 25. Puoi comunque trovare la pendenza dy/dx senza districare l'equazione, usando la derivazione implicita.
Tutto il procedimento si fonda su un'unica ipotesi: tratta y come una funzione (nascosta) di x. Poi deriva entrambi i membri dell'equazione rispetto a x. Ogni volta che derivi un termine in y, la chain rule aggiunge un fattore dy/dx, perché y dipende da x.
Immagina una scala appoggiata contro un muro che inizia a scivolare. Mentre la base scivola verso l'esterno, la cima scivola verso il basso: la posizione orizzontale x e la posizione verticale y cambiano insieme, bloccate dalla lunghezza fissa della scala. Non si risolve mai per l'una in funzione dell'altra, eppure è possibile mettere in relazione i loro tassi. La derivazione implicita fa esattamente questo, derivando un'equazione che lega x e y senza mai districare y da sola.