Calcolo a una variabile dai primi principi
Prendi una successione e inizia a sommarne i termini man mano. Dopo un termine hai a₁. Dopo due, a₁ + a₂. Dopo tre, a₁ + a₂ + a₃. Ognuna di queste somme via via crescenti si chiama somma parziale, scritta Sₙ — la somma dei primi n termini.
Le somme parziali formano a loro volta una nuova successione (S₁, S₂, S₃, …), e possiamo porci la stessa domanda della lezione scorsa: questa somma cumulativa si stabilizza su un limite? Se lo fa, chiamiamo quel limite la somma della serie.
Immagina un barattolo delle mance che continui a riempire: ogni totale parziale è una somma parziale, i soldi nel barattolo dopo l'ultimo contributo. Se ogni contributo è la metà di quello precedente — come aggiungere 1/2 + 1/4 + 1/8 + … di dollaro — il barattolo si riempie velocemente all'inizio, poi sale a malapena, sfiorando un soffitto. Quel soffitto che non supera mai del tutto è la somma della serie, in questo caso esattamente 1 dollaro.