Calcolo a una variabile dai primi principi
Nelle ultime due lezioni hai sommato una lista di numeri e ti sei chiesto dove andasse a finire la somma cumulativa. Ora facciamo un salto audace: e se le cose che stiamo sommando fossero infiniti pezzi infinitamente sottili? Quella singola mossa — sommare piccoli pezzi e poi prendere un limite — è l'intera idea dell'integrale.
Ecco l'idea. Vuoi l'area sotto una curva, ma il bordo superiore è ondulato, quindi non c'è un'unica altezza da moltiplicare per la larghezza. Allora imbrogli, con cautela: copri la regione con rettangoli verticali sottili, ciascuno così stretto che sopra di esso la curva è quasi piatta. Sommi le loro aree. Non otterrai la risposta esatta — i bordi dei rettangoli sporgono sopra la curva o restano sotto — ma ci andrai vicino. Poi rendi i rettangoli ancora più sottili.
Per trovare l'area di una regione dalla forma irregolare, immagina di riempirla con molte strisce verticali sottili, come impilare una fila di monete fianco a fianco sotto la curva. Ogni striscia è così stretta che la sua cima è quasi piatta, quindi puoi trattarla come un semplice rettangolo e sommarne le aree. Più sottili affetti le strisce — più piccolo rendi Δx — più saldamente la pila riempie la regione, e l'area che ottieni si avvicina alla risposta esatta.