Calcolo a una variabile dai primi principi
Per trovare i picchi e le valli di una funzione (i suoi massimi e minimi) si cercano i punti piatti. In cima a una collina o in fondo a una valle la retta tangente è orizzontale, quindi la pendenza è zero. Questi sono i punti critici.
Imporre f′(x) = 0 e risolvere fornisce le posizioni candidate. È una condizione necessaria per un picco o una valle lisci, ma non del tutto sufficiente, perché un punto piatto potrebbe anche essere una sosta momentanea (un flesso a tangente orizzontale). Per stabilire di che tipo si tratti si ricorre a un test.
Immagina un'escursione attraverso dolci colline. Mentre sali verso la cima di una collina il terreno si inclina verso l'alto sotto i tuoi scarponi; mentre scendi in una valle si inclina dall'altra parte. Proprio in cima a una collina, o nel punto più basso del fondo di una valle, il terreno è momentaneamente piatto, la pendenza è zero. Quelle zone piatte sono esattamente i punti critici che stai cercando.