Calcolo a una variabile dai primi principi
La sostituzione (spesso chiamata u-sostituzione) è la tecnica di integrazione che inverte la chain rule. Quando un integrale contiene una funzione e una copia della sua derivata, puoi collassare la composizione disordinata in un integrale pulito e semplice rinominando l'interno.
La ricetta: individua una funzione interna, chiamala u = g(x), calcola du = g′(x) dx, e riscrivi l'integrale interamente in termini di u. Se hai scelto bene u, il pezzo g′(x) dx è già lì pronto a diventare du, e l'integrale diventa banale.
La sostituzione è come cambiare i soldi in una valuta più semplice per fare una somma, poi cambiare di nuovo. L'integrale è scomodo nella sua 'valuta' originale di x, quindi passi a un'unità u pulita, fai l'aritmetica facile lì, e converti la risposta di nuovo in x alla fine. Scegli saggiamente il cambio e la somma disordinata si trasformerà in una che puoi fare a mente.