Quando un integrale è un prodotto di due funzioni non correlate, come x·eˣ, la sostituzione di solito non aiuta. Lo strumento per i prodotti è l'integrazione per parti, la controparte integrale della regola del prodotto.
Deriva direttamente dall'invertire la regola del prodotto. La formula scambia un integrale con un altro, si spera più semplice:
L'arte è scegliere u e dv. Scegli u come la parte che diventa più semplice quando derivata (così l'integrale residuo è più facile), e lascia che dv sia la parte che sai integrare.
Dove si trova nel MLL'integrazione per parti è la tecnica dietro gli integrali di entropia e cross-entropia che pervadono l'ML. Cose come ∫ x ln x dx compaiono quando si calcola l'entropia di distribuzioni continue. È anche un cavallo di battaglia nel calcolo dei valori attesi e nella matematica che sta dietro l'inferenza variazionale, dove gli integrali di prodotti di densità e log-densità compaiono di continuo.