Calcolo multivariabile dai primi principi
Aggiungi una dimensione e hai l'integrale triplo: invece di piastrellare una regione 2-D, riempi un solido 3-D con piccoli box, pesa ciascuno per il valore della funzione lì, e somma. Il meccanismo è lo stesso di prima, somme di Riemann seguite da integrazione iterata, con Fubini che ancora ti lascia scegliere l'ordine.
Su un box [a,b]×[c,d]×[e,g] sono tre integrali singoli annidati: integri su una variabile tenendo le altre fisse, poi la successiva, poi l'ultima. Ciascun passo è ordinaria integrazione del Corso I.
Pensa di pesare un pan di spagna la cui densità varia da un punto all'altro: arioso verso la parte superiore, più denso e umido verso il centro. Per ottenere la sua massa totale lo taglieresti a dadini in minuscoli cubetti, moltiplicheresti il piccolo volume di ogni cubetto per la densità proprio in quel punto, e sommeresti ogni briciola. Facendo rimpicciolire i cubetti, quella somma si trasforma nell'integrale triplo della densità f(x, y, z) sulla torta.