Calcolo multivariabile dai primi principi
Quest'ultima lezione lega insieme le due metà del corso. Quando cambi variabili in un integrale sostituendo x = g(u), devi tenere conto di come la sostituzione dilata lo spazio. Quel fattore di dilatazione è il determinante della Jacobiana del Modulo 3, quindi la formula finale è dove le derivate e gli integrali del corso finalmente si incontrano.
Questa è la generalizzazione multivariabile della u-sostituzione del Corso I. Lì, il fattore era |dx/du|, una 'Jacobiana' 1×1. Qui è |det J_g|, il fattore di scala del volume: mentre la mappa g comprime o espande piccoli box dello spazio u nello spazio x, il determinante riscala l'integrale così che il totale resti corretto.
Cercare di integrare su una regione rotonda con piastrelle quadrate x-y è come pavimentare una rotatoria circolare con mattoni rettangolari: i bordi non si adattano mai in modo pulito. Passa alle coordinate circolari (polari) che si avvolgono attorno al centro e la forma va al suo posto naturalmente. Il prezzo per questo passaggio è il fattore di allungamento, che trasforma l'elemento di area in r dr dθ perché gli anelli più lontani dal centro coprono più spazio.