Calcolo multivariabile dai primi principi
Finora l'output era un singolo numero. Lasciamo che cresca in un vettore anche. Una funzione f: Rⁿ → Rᵐ prende un vettore e restituisce un vettore: molti numeri in, molti numeri out. Questa è esattamente la forma di uno strato di una rete neurale, dove un vettore di input entra e un vettore trasformato esce.
Il modo per capire qualsiasi funzione a valori vettoriali è leggerla una coordinata di output alla volta. Ciascuna componente di output è essa stessa una ordinaria funzione scalare Rⁿ → R, chiamata funzione componente. Impila m di esse e hai l'intera mappa.
Un mixer audio trasforma alcune manopole di ingresso in diverse letture di uscita contemporaneamente: spingi i cursori e ogni misuratore risponde insieme. Quella è una funzione f: Rⁿ → Rᵐ: un vettore di ingressi entra, un vettore di uscite esce. Per capirlo leggi un misuratore alla volta, poiché ogni coordinata di uscita f₁, f₂, e così via è la sua normale ricetta costruita dalle stesse manopole di ingresso.