Geometria e algebra di applicazioni lineari, vettori e matrici
La diagonalizzazione riscrive una matrice nel suo sistema di coordinate più naturale, quello costruito dai suoi autovettori. In quel sistema la matrice è diagonale: non fa altro che scalare ciascun auto-asse del suo autovalore. Una trasformazione ingarbugliata diventa semplice.
Qui P ha gli autovettori come colonne e D è diagonale con gli autovalori. Leggi il prodotto da destra a sinistra come una ricetta in tre passi: P⁻¹ ruota nelle auto-coordinate, D scala ciascun asse, e P ruota indietro. Una trasformazione disordinata, espressa come una pura dilatazione tra due cambi di vista.
La diagonalizzazione rende le potenze di matrici quasi gratuite. Poiché le coppie centrali P⁻¹P si cancellano, Aᵏ = P Dᵏ P⁻¹, e elevare una matrice diagonale a una potenza eleva semplicemente ciascun elemento diagonale a quella potenza. Nessuna moltiplicazione matriciale ripetuta necessaria.