リーマン積分

第一原理からの1変数微分積分

積分は微分の同伴の問いに答えます：「どれだけ速く変化しているか？」ではなく「どれだけ蓄積されたか？」幾何学的には、定積分は曲線とx軸の間に閉じ込められた面積です。

池の輪郭を方眼紙になぞり、その面積を知りたいと想像してください。岸が曲がっているため、1つの幅と1つの高さを掛け合わせることはできません。そこで、輪郭の下に収まる小さな四角形を数えます。四角形が多いほど、グリッドが細かいほど、カウントは真の面積に近づいていきます。リーマン和はまさにそのカウントであり、積分は四角形が極限まで縮小したときに落ち着く数値です。

長方形なら面積は単に幅×高さです。しかし曲線は波打つ天井を持つ — 掛ける単一の高さがない。ベルンハルト・リーマンのアイデア：領域を細い垂直な長方形にスライスし、それぞれが曲線をほぼ平らと見なせるほど短くし、面積を足し、さらに薄いスライスを使う。