線形写像、ベクトル、行列の幾何学と代数
3つの量が行列が実際に何をするかを捉える。列空間はAxが到達できるすべて：列のスパン、行列の「出力領域」。ランクはその列空間の次元で、Aが生成する genuinely 独立した方向の数。そして零空間はAがゼロに潰すすべて、Ax = 0を満たすすべてのx。
ランドマークを使って道案内をすることを想像してください。もし「タワーに向かって進んで」そして「そのすぐ横にある双子のタワーに向かって進んで」と言った場合、あなたは実際には 1つの本物の方向 しか与えていません — 2つ目は新しいものを何も追加しません。ランク（rank） は、行列の方向のうち、このように本当に独立しているものがいくつあるかを数えます；まったく動きを持たないように崩壊する方向はすべて 零空間（null space） に属します。
次元はきれいなバランスに従う、ランク・零次元定理です：入力次元は生き残る方向（ランク）と潰される方向（零次元）に分かれる。