行列の逆行列
線形写像、ベクトル、行列の幾何学と代数
逆行列A⁻¹はAを元に戻す変換です。Aを適用してからA⁻¹を適用するとすべてのベクトルが家に帰る：A⁻¹A = AA⁻¹ = I。Aが30°回転すれば、その逆行列は30°回転し戻す；Aが長さを2倍すれば、その逆行列は半分にする。
すべての行列が元に戻せるとは限らない。逆行列が存在するのはAがフルランクのとき、同値に行列式が非ゼロのとき。理由は幾何的：Aが空間を潰す（低ランク行列のように方向をゼロに潰す）と情報が破壊され、復元できない。そのような行列は特異です。
2×2行列には覚えやすい閉形式がある。対角を交換、非対角の符号を反転、行列式で割る：
機械学習における位置づけ逆行列は概念的に中心だが実践的に回避される。回帰の正規方程式はβ = (XᵀX)⁻¹Xᵀyと書かれるが、実際のソルバーはその逆行列を形成しない；逆行列化は高コストで数値的に脆いのでシステムを直接解く。行列がいつ可逆か（フルランク）を知ることは、問題がwell-posedか退化しているかを教える。
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