제1원리에서 출발하는 일변수 미적분
치환(흔히 u-치환이라고 부릅니다)은 연쇄 법칙을 되돌리는 적분 기법입니다. 적분식이 어떤 함수와 그 도함수의 사본을 함께 담고 있을 때, 안쪽 함수의 이름을 바꿔 줌으로써 지저분한 합성을 깔끔하고 간단한 적분으로 무너뜨릴 수 있습니다.
방법은 이렇습니다. 안쪽 함수를 찾아 u = g(x)로 부르고, du = g′(x) dx를 계산한 뒤, 적분식 전체를 u로 다시 씁니다. u를 잘 골랐다면 g′(x) dx 조각이 이미 그 자리에 있어 du가 되어 주고, 적분이 자명해집니다.
치환은 계산을 하기 위해 돈을 더 단순한 화폐로 바꿨다가 다시 되돌리는 것과 같습니다. 적분은 원래 '화폐'인 x 상태에서는 까다로우므로, 깔끔한 단위 u 로 바꿔서 쉽게 산술 계산을 마친 후 마지막에 답을 다시 x 로 변환합니다. 교환을 현명하게 선택하면 복잡한 계산이 머릿속으로 풀 수 있는 문제로 바뀝니다.