선형 사상, 벡터, 행렬의 기하학과 대수
방정식 Ax = b는 선형대수학의 핵심 계산입니다. 변환 A와 목표 b가 주어졌을 때, 어떤 입력 x가 그 목표에 도달하는가를 묻습니다. 이것을 기하학으로 읽으면, 무언가를 계산하기도 전에 해의 성격이 먼저 눈에 보입니다.
이를 떠올리는 방법은 두 가지입니다. 행 그림에서는 각 방정식이 직선(2차원)이나 평면(3차원)이고, 해는 그것들이 모두 만나는 지점입니다. 열 그림에서는 b가 A의 열들의 선형 결합이어야 하며, x가 그 결합의 가중치를 담고 있습니다.
기하학적으로 경우는 정확히 세 가지입니다. 직선들이 한 점에서 만나거나(유일해), 평행하면서 서로 다르거나(해 없음, 목표가 끝내 만나지 않음), 아니면 같은 직선이거나(무한히 많은 해)입니다. 그림에서 직선을 끌어 이 세 경우를 모두 거쳐 보세요.