Eénvariabelecalculus vanuit eerste principes
Soms y wordt je niet als een nette y = f(x). In plaats daarvan zit het verstrengeld in een vergelijking, zoals een cirkel x² + y² = 25. Je kunt de helling dy/dx nog steeds vinden zonder te ontdoen van de knopen, door gebruik te maken van implidiete differentiatie.
De hele beweging berust op één aanname: behandel y als een (verborgen) functie van x. Dan differentieer je beide kanten van de vergelijking ten opzichte van x. Elke keer dat je een y-term differentieert, plakt de kettingregel een dy/dx factor eraan toe, omdat y afhankelijk is van x.
Stel je een ladder voor die tegen een muur leunt en begint te glijden. Terwijl de voet naar buiten glijdt, glijdt de top naar beneden: de horizontale positie x en de verticale positie y veranderen samen, vastgezet door de vaste lengte van de ladder. Je lost de ene nooit op in termen van de ander, toch kun je hun snelheden aan elkaar relateren. Impliciet differentiëren doet precies dat, een vergelijking differentiëren die x en y samenbindt zonder y ooit in zijn eentje te ontwarren.