Eénvariabelecalculus vanuit eerste principes
Neem een reeks en begin te tellen door de termen op te tellen als je verder gaat. Na één term heb je a₁. Na twee, a₁ + a₂. Na drie, a₁ + a₂ + a₃. Elk van deze looptotaals wordt een deel som, geschreven als Sₙ — de som van de eerste n termen.
De deel sommen vormen zelf een nieuwe reeks (S₁, S₂, S₃, …), en we kunnen dezelfde vraag stellen als in het laatste lesuur: komt deze looptotaal tot rust bij een limiet? Als dat zo is, noemen we die limiet de som van de reeks.
Stel je een fooienpot voor die je blijft aanvullen: elk lopend totaal is een partiële som, het geld in de pot na de laatste bijdrage. Als elke bijdrage de helft is van de vorige — zoals het toevoegen van 1/2 + 1/4 + 1/8 + … van een dollar — vult de pot zich in het begin snel, stijgt daarna nauwelijks, en schurkt tegen een plafond aan. Dat plafond dat het net niet passeert is de som van de reeks, hier exact 1 dollar.