Eénvariabelecalculus vanuit eerste principes
In de laatste twee lessen voegde je op een lijst van getallen samen en vroeg je waar de looptotaal naartoe ging. Nu maken we één moedige sprong: wat als de dingen die we optellen oneindig veel, oneindig dunne stukjes zijn? Die ene beweging — som kleine stukjes op, dan neem een limiet — is het hele idee van de integraal.
Hier is het plaatje. Je wilt de oppervlakte onder een kromme hebben, maar bovenaan is het wavy, dus er is geen enkele hoogte om te vermenigvuldigen met de breedte. Dus je trapt in: bedrieglijk zorgvuldig: de regio omspellen met dunne verticale rechthoeken, elk zo smal dat de kromme er bijna plat overheen loopt. Tel hun oppervlakten op. Je krijgt niet het exacte antwoord — de rechthoektoppen steken boven of vallen onder de kromme — maar je komt dichtbij. Dan maak je de rechthoeken dunner.
Om de oppervlakte van een vreemd gevormd gebied te vinden, stel je voor dat je het vult met veel dunne verticale stroken, alsof je een rij munten zij aan zij onder de curve stapelt. Elke strook is zo smal dat de bovenkant bijna plat is, dus je kunt het behandelen als een simpele rechthoek en de oppervlaktes optellen. Hoe dunner je de stroken snijdt — hoe kleiner je Δx maakt — hoe strakker de stapel het gebied vult, en de oppervlakte die je krijgt komt steeds dichter bij het exacte antwoord.