Eénvariabelecalculus vanuit eerste principes
Om de toppen en dalen van een functie te vinden (haar maxima en minima) zoek je naar platte plekken. Op het top van een heuvel of in het diepste punt van een vallei is de raaklijn horizontaal, dus de helling is nul. Die zijn de kritieke punten.
Stel f′(x) = 0 gelijk aan nul en los op om de kandidaatlocaties te vinden. Dit is een nodige voorwaarde voor een gladde top of dal, maar niet volledig voldoende, omdat een platte plek ook een tijdelijke pauze kan zijn (een zadellijk inflexiepunt). Je bevestigt wat het soort is met een test.
Stel je een wandeling over glooiende heuvels voor. Terwijl je naar een heuveltop klimt, helt de grond onder je laarzen omhoog; als je naar beneden een vallei in loopt, helt hij de andere kant op. Precies op het allerhoogste punt van een heuveltop, of het laagste punt van een valleibodem, is de grond even plat, de helling is nul. Die platte plekken zijn exact de kritieke punten waar je op jaagt.