Eénvariabelecalculus vanuit eerste principes
De integraal beantwoordt de bijpassende vraag aan de afgeleide: niet "hoe snel verandert dit?" maar "hoeveel is er opgebouwd?". Geometrisch gezien is het definitieve integral het oppervlak dat tussen een kromme en de x-as gevangen zit.
Stel je voor dat je de omtrek van een vijver overtrekt op ruitjespapier en de oppervlakte ervan wilt weten. Je kunt niet één breedte met één hoogte vermenigvuldigen, want de oever buigt. Dus tel je de kleine vierkantjes die binnen de omtrek vallen: hoe meer vierkantjes en hoe fijner het rooster, hoe dichter je telling bij de werkelijke oppervlakte kruipt. Een Riemann-som is exact die telling, en de integraal is het getal waarop het zich vestigt naarmate de vierkantjes tot niets slinken.
Voor een rechthoek is het oppervlak gewoon breedte × hoogte. Maar een kromme heeft een waaierige bovenkant — geen enkele vaste hoogte om mee te vermenigvuldigen. Bernhard Riemann's idee: snij de regio in dunne verticale rechthoeken, elk zo kort dat de kromme er vlak overheen is, tel hun oppervlaktes op en gebruik dan steeds dunner sneden.