Eénvariabelecalculus vanuit eerste principes
Dit is het stelling dat de hele cursus samenbindt. Afgeleiden en integralen, hellingen en oppervlaktes, lijken twee verschillende werelden te zijn. De Fundamentele Stelling van de Calculus (FSC) toont aan dat ze exact inverse van elkaar zijn. Differentiëren ongedaan maken integreren en vice versa.
Definieer een oppervlakfunctie A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, het lopende oppervlak onder f vanaf een vast beginpunt tot x. Deel 1 zegt: de snelheid waarmee dat oppervlak groeit is precies de hoogte van de kromme aan de rechterkant:
Intuïtief: als je de rechterkant een beetje verplaatst, voeg je een nieuwe dunne strook toe met oppervlakte (hoogte)×(kleine breedte) = f(x)·dx. Dus het oppervlak groeit op snelheid f(x). Het figuur toont hoe het oppervlak zich vult en zijn groei snelheid de hoogte van de kromme volgt.