Wanneer een integraal een product van twee onverwante functies is, zoals x·eˣ, helpt substitutie meestal niet. Het hulpmiddel voor producten is partiële integratie, de integraaltegenhanger van de productregel.
Ze komt rechtstreeks voort uit het omkeren van de productregel. De formule ruilt de ene integraal in voor een andere, hopelijk eenvoudiger, integraal:
De kunst is het kiezen van u en dv. Kies u als het deel dat eenvoudiger wordt bij differentiëren (zodat de overgebleven integraal makkelijker is), en laat dv het deel zijn dat je kunt integreren.
Waar dit voorkomt in MLPartiële integratie is de techniek achter de entropie- en kruisentropie-integralen die ML doordringen. Zaken als ∫ x ln x dx verschijnen bij het berekenen van de entropie van continue verdelingen. Het is ook een werkpaard bij het afleiden van verwachtingen en in de wiskunde achter variationele inferentie, waar integralen van producten van dichtheden en log-dichtheden voortdurend opduiken.