Meervariabelecalculus vanuit eerste principes
Deze laatste les bindt de twee helften van de cursus samen. Wanneer je variabelen verandert in een integraal door x = g(u) te substitueren, moet je rekening houden met hoe de substitutie de ruimte uitrekt. Die uitrekfactor is de Jacobiaan-determinant uit Module 3, dus de uiteindelijke formule is waar de afgeleiden en integralen van de cursus elkaar eindelijk ontmoeten.
Dit is de multivariabele veralgemening van de u-substitutie uit Cursus I. Daar was de factor |dx/du|, een 1×1-'Jacobiaan'. Hier is het |det J_g|, de volumeschalingsfactor: terwijl de afbeelding g kleine dozen van de u-ruimte samendrukt of uitrekt naar de x-ruimte, herschaalt de determinant de integraal zodat het totaal juist blijft.
Proberen te integreren over een rond gebied met vierkante x-y tegels is als het plaveien van een ronde rotonde met rechthoekige stenen: de randen passen nooit netjes. Schakel over naar cirkelvormige (polaire) coördinaten die zich om het middelpunt wikkelen en de vorm valt vanzelf op zijn plaats. De prijs voor het overschakelen is de rekfactor, die het oppervlakte-element in r dr dθ verandert omdat ringen die verder van het middelpunt liggen meer ruimte in beslag nemen.